Hur många lösningar har ekvationen x4=4x

Ekvationsl&#;sning

I detta denna plats avsnittet bygger oss vidare vid vad oss tidigare lärt oss angående formler samt ekvationer, samt går igenom en antal modell vid hur man löser ekvationer. Allt inom nästa del existerar ett repetition, dock detta existerar väl värt för att vandra igenom då detta existerar viktigt för att man är kapabel åtgärda ekvationer.

Här följer en sammanfattning av de fyra stegen för att lösa de flesta ekvationer i denna kurs

oss studera hur enstaka ekvationslösning går mot, detta önskar yttra hur man kunna räkna ut vilket värde enstaka variabel inom enstaka ekvation måste äga till för att ekvationen bör stämma.

Enkla ekvationer

Vi börjar tillsammans med för att formulera enstaka ekvation utifrån ett konkret situation.

Låt yttra för att oss äger varit inom affären samt köpt bananer till $36$ kronor.

oss vet för att priset fanns $6$ kr per kg, därför förmå oss räkna ut hur flera kilo bananer oss äger köpt. ifall oss betecknar antalet kilo bananer oss köpt tillsammans med $x$, därför kunna oss ställa upp enstaka ekvation vilket beskriver förhållandet:

$$6x=36$$

Ekvationen ovan kunna man alltså tolka sålunda här:
Vi besitter köpt $x$ kg bananer, varenda kg bananer kostar $6$ kr samt totalt kostade bananerna $36$ kr.

Tidigare besitter oss lärt oss för att man är kapabel förändra leden inom enstaka ekvation, således länge man utför identisk sak inom båda leden.

Man måste alltså utföra identisk räkneoperationer vid uttrycken vid båda sidorna ifall likhetstecknet.
Genom för att utföra räkneoperationer vid båda sidorna ifall likhetstecknet förmå man notera ifall ekvationen, sålunda för att variabeln står isolerad inom detta en ledet.

Det viktiga på denna plats existerar för att man utför identisk räkneoperation vid såväl kurera detta vänstra ledet såsom kurera detta högra ledet - på det sättet bevaras likheten mellan leden.

Ibland behöver du inte ens göra alla fyra steg, utan kan direkt hoppa till steg tre eller fyra

Denna ekvationslösningsmetod kallas balansmetoden.

Exempel vid svar från enkla ekvationer

Vi adderar $4$ mot uttrycken inom båda leden till för att ett fåtal $x$ ensamt inom vänster led:

$$x-4=5$$

$$x-4+4=5+4$$

$$x=9$$

Här subtraherar oss $5$ ifrån uttrycken inom båda leden samt får $x$  ensamt:

$$x+5=6$$

$$x+=$$

$$x=1$$

Vi mångfaldigar uttrycken inom båda leden tillsammans $8$ till för att åtgärda ut $x$:

$$\frac{x}{8}=9$$

$$8\cdot \frac{x}{8}=9\cdot 8$$

$$x=72$$

Slutligen en modell var oss dividerar uttrycken inom båda leden tillsammans $10$ på grund av för att erhålla ut $x$:

$$10x=20$$

$$\frac{10x}{10}=\frac{20}{10}$$

$$x=2$$

Balansmetoden

Vi återgår mot exemplet tillsammans med bananinköpet.

$$6x=36$$

Nu förmå oss räkna ut antalet kilo bananer oss köpte.

oss dividerar uttrycken inom både vänster samt motsats till vänster led tillsammans $6$, således för att $x$ (antal kg bananer) står ensamt inom detta vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}=\frac{36}{6}$$

$$x=6$$

De modell oss tog upp ovan gick för att åtgärda inom en steg genom för att tillämpa enstaka räkneoperation vid uttrycken inom båda leden.

detta går även för att åtgärda mer komplicerade ekvationer tillsammans med flera steg. detta existerar då viktigt för att komma minnas för att man ständigt multiplicerar samt dividerar varenda begrepp inom båda leden.

Flerstegsekvation

Låt oss ta en modell vid svar från enstaka flerstegsekvation

$$3x+6=9$$

Vi börjar tillsammans med för att sätta $3x$-termen isolerad inom vänsterledet genom för att subtrahera uttrycken inom båda leden tillsammans med $6$:

$$3x+6 \;{\color{Red} -\; 6}=9 \;{\color{Red} -\; 6}$$

$$3x=3$$

I nästa steg önskar oss bli från tillsammans $3$:an framför $x$:et.

oss fullfölja oss från tillsammans med $3$:an genom för att dividera båda leden tillsammans $3$:

$$\frac{\cancel{\color{Red}3}x}{\cancel{\color{Red}3}}=\frac{\cancel{\color{Red}3}}{\cancel{\color{Red}3}}$$

$$x=1$$

Ekvation rötter existerar 1.

Prövning

För för att granska för att lösningen oss kommit fram mot existerar rätta svar kunna oss pröva lösningen.

detta innebär för att man tar värdet vid $x$ liksom man kommit fram mot samt sätter in inom originalekvationen, vid varenda ställen var detta står $x$. angående likheten inom ekvationen gäller, existerar svar giltig.

Tidigare inom detta denna plats avsnittet löste oss nästa ekvation

$$x-4=5$$

till

$$x=9$$

För för att testa denna svar, byter ut $x$:et inom ekvationen mot 9 samt får att

$$*VL=x-4==5$$

och

$$*HL=5$$

vilket ger att

$$*VL=HL$$

*VL= vänsterled, HL=högerled

Alltså stämmer lösningen.

Att nyttja sig från prövning existerar en god sätt för att granska för att man ej gjort räknefel.

Detta beror på att graferna då kan korsa varandra vid fler platser än en

angående oss ägde kommit fram mot en utfall vid ekvationen såsom ej bevarar likheten mellan vänster led samt motsats till vänster led då oss sätter in värdet vid variabeln, då måste oss äga räknat fel någonstans.

Ekvationer tillsammans med variabler inom båda leden

Om ett ekvation innehåller variabler inom uttrycken inom både vänsterled samt högerled, löser oss ekvationen genom för att inledningsvis försöka samla varenda variabler vid identisk sida.

Exempel

$$5x=x$$

Addera $42x$ mot båda leden, därför samtliga $x$-termer samlas inom en ledet (i detta denna plats fall vänsterledet):

$$5x\;{\color{Red} +\;42x}=x\;{\color{Red} +\;42x}$$

$$47x=$$

Härifrån fullfölja oss noggrann såsom tidigare samt delar uttrycken inom båda leden tillsammans $47$, på grund av för att erhålla $x$:et ensamt inom vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{47}x}{\cancel{47}}=\frac{}{47}$$

$$x=\frac{}{47}\approx 8,09$$

Ekvationer tillsammans med variabel inom nämnaren

I vissa ekvationer finns variabeln inom divisor från en bråkuttryck.

noggrann likt tidigare gäller detta för att man utför identisk räkneoperationer vid båda sidorna på grund av för att skydda likheten. angående oss äger ekvation

$$\frac{10}{x}=5$$

multiplicerar oss bota ekvationen (båda leden) tillsammans $x$ samt får att

$$\frac{10}{x}=5\Rightarrow \frac{10\cdot x}{x}=5\cdot x\Rightarrow 10=5x$$

Härifrån kunna oss åtgärda ut $x$ genom för att dividera bota ekvationen tillsammans med $5$ samt får att

$$\frac{10}{5}=\frac{5x}{5}\Rightarrow x=2$$

Som oss ser inom beräkningen ovan, försvann $x$:et inom divisor samt oss fick en lösbart formulering.

Denna räknemetod används på grund av för att hantera variabler såsom finns inom divisor inom ekvationer.

Allmän svar från raka ekvationer

I detta denna plats avsnittet äger oss hittills gått igenom ekvationer från inledande graden, detta önskar yttra ekvationer var variabeltermen $x$ existerar från graden 1, mot skillnad ifrån andragradsekvationer liksom innehåller minimalt ett $x^2$-term.

Förstagradsekvationer kallas linjära ekvationer.

Alla raka ekvationer kunna (efter eventuell förenkling) tecknas vid formen

$$ax+b=0$$

$$a \neq 0$$

Där $a$ samt $b$ existerar konstanter samt $x$ existerar vår variabel. Den allmänna lösningen mot raka ekvationer fås från för att oss ifrån ekvationen

$$ax+b=0$$

först subtraherar $b$ ifrån uttrycken inom båda leden

$$ax+b\;{\color{Red} - \;b}=0\;{\color{Red} - \;b}$$

vilket ger oss

$$ax=-b$$

Dividera uttrycken inom båda leden tillsammans med $a$, till för att erhålla $x$ ensamt inom detta vänstra ledet:

$$\frac{ax}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$$

Sammanfattningsvis:

Om oss äger enstaka förstagradsekvation skriven vid formen

$$ax+b=0$$

där $x$ existerar ett variabel, samt $a$ samt $b$ existerar konstanter, då besitter ekvationen ett lösning

$$ x=-\frac{b}{a}$$

L&#;s sidan p&#; andra spr&#;k