14700 x 15 upphöjt till 1

En potens kallas en formulering var a kallas basen samt b kallas exponenten samt utläses "a upphöjt mot b".

Man kan säga att potenser är för multiplikationen, vad multiplikationen är för additionen

Operationen för att "upphöja" kallas exponentiering.

I grafräknare samt inom datorsammanhang brukar man uttrycka potenser likt var a existerar basen samt b existerar exponenten.

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Uttrycket existerar enstaka potens samt utläses "4 upphöjt mot 5" var 4 existerar basen samt 5 existerar ett expontent.

betyder precist identisk sak såsom 4 · 4 · 4 · 4 · 4.

Beräkna vad som är det valda talet upphöjt till den valda potensen

Alltså, fem stycken fyror gånger varandra vilket existerar lika tillsammans

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

I sin enklaste form eller gestalt (som tidigare kallades dignitet) definieras potenser vilket resultatet från upprepad multiplikation. Exempelvis, 4³ (utläses 4 upphöjt mot 3) blir 4 · 4 · 4 = Mer allmänt gäller:

I denna definition förutsätts för att exponenten existerar en positivt heltal.

Potenslagarna

[redigera | redigera wikitext]

Ur definitionen från potenser tillsammans positiva anförande likt heltalsexponent, kunna potenslagarna härledas:

Utgående ifrån dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser från potens.

Utvidgning mot varenda heltal

[redigera | redigera wikitext]

Med utgångspunkt inom för att potenslagarna skall gälla även då exponenten existerar en negativt heltal, följer från den näst sista potenslagen ovan för att

• a⁰ = 1 (om a ≠ 0) ifall m = n. Exempel: 2⁰ = 1 (läs mer beneath tom produkt)
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (om a ≠ 0) angående m < n.
  Potenser kallas allmänt när man räknar för “upphöjt till“

  Exempel: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 .

För a = 0 går detta ej för att ge enstaka definition på grund av a^x annat än ifall x > 0. Speciellt hör uttrycket 0⁰ mot dem odefinierbara uttrycken.

Utvidgning på grund av rationella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Genom för att tillämpa den sista potenslagen förmå även potenser tillsammans rationella exponenter beräknas, förutsatt för att basen existerar större än noll.

• x = a^p/q (där a > 0) existerar detta positiva anförande x likt möter x^q = a^p eftersom x^q = (a^p/q)^q = a^{p/q ∙ q} = a^p .

Speciellt betecknas a^1/2 såsom (kvadrat)roten ur a (skrives) samt a^1/3 liksom kubikroten ur a (skrives ).

Kalkylatorn stöder både positiva och negativa tal

Om basen existerar noll alternativt mindre, existerar potensen ej definierad, vilket beror vid för att angående p existerar udda samt q existerar jämnt går detta ej för att ett fåtal likhet till negativa anförande a. Udda rötter existerar däremot definierade till samtliga reella anförande.

Utvidgning till samtliga reella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Om exponenten existerar irrationell, detta önskar yttra reell dock ej rationell, utgår man ifrån kontinuitetsprincipen:

Om x₁<y<x₂ således bör a^x₁<a^y<a^x₂ gälla (där a>1), samt genom för att låta x₂ − x₁ bli allt mindre, bestäms a^y liksom en gränsvärde.

(Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition från exponentialfunktionen

[redigera | redigera wikitext]

Det existerar även möjligt för att nyttja a^x = e^{x ln a} på grund av för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kunna göras tillsammans exponentialfunktionens serieutveckling:

eller utgå ifrån ett definition från den naturliga logaritmen:

Utvidgning på grund av komplexa tal

[redigera | redigera wikitext]

Imaginära exponenter tillsammans basen e

[redigera | redigera wikitext]

Ett komplext anförande existerar en formulering från formen , var x samt y existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten, en anförande såsom satisfierar regeln .

en komplext anförande är kapabel åskådliggöras liksom enstaka punkt inom (x,y)-planet.

A basic math calculator with additional supporting online math calculators if you need them

dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna på grund av ett punkt inom (x,y)-planet består från detta icke-negativa talet r samt vinkeln θ sådana för att x = r cos θ samt y = r sin θ:

Produkten från numeriskt värde komplexa anförande z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ erhålls genom expansion från produkten från binomen samt förenkling tillsammans med hjälp från regeln :

Som ett följd från formler till trigonometriska vinkelsummor; ifall z₁ samt z₂ besitter dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna (r₁, θ₁), (r₂, θ₂), sålunda existerar deras vara z₁z₂ inom relaterade till poler eller motsatser koordinater lika tillsammans (r₁r₂, θ₁ + θ₂).

Lösningarna mot ekvationen e^z = 1 existerar heltalsmultiplarna 2πi:

Mera allmänt, ifall e^v = w, således förmå varenda lösninig mot e^z = w erhållas genom addition från enstaka heltalsmultipel 2πi mot v:

Således existerar den komplexa exponentialfunktionen enstaka periodisk funktion tillsammans perioden 2πi:

.

Mer angående potensers egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Till skillnad ifrån addition samt multiplikation besitter operationen exponentiering nästan ingen från "de vanliga" algebraiska egenskaperna, såsom brukar användas på grund av för att förenkla räkningar.

från potenslagarna kunna man utläsa, för att exponentiering existerar högerdistributiv tillsammans med avseende vid multiplikation (det önskar yttra att (a&#;·&#;b)^c&#;=&#;a^c&#;·&#;b^c); samt operationen äger detta högerneutrala elementet 1 (eftersom a¹ = a. Däremot existerar exponentiering ej vänsterdistributiv, samt saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering existerar ej heller kommutativ.

A Free Online Calculator that is quick to load and easy to use

Exempelvis existerar 2 + 3 = 5 = 3 + 2 samt 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition samt multiplikation existerar kommutativa operationer, dock 2³ = 8, vilket ej existerar detsamma såsom 3² = 9.

Exponentiering existerar ej heller associativ, mot skillnad ifrån addition samt multiplikation. Exempelvis existerar (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 samt (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, dock 2³ upphöjt mot 4 existerar 8⁴&#;=&#;4&#;, medan 2 upphöjt mot 3⁴ existerar 2⁸¹&#;=&#;2&#;&#;&#;&#;&#;&#;&#;&#; Observera för att angående man ej använder parenteser på grund av för att ändra prioriteringsordningen, sålunda "beräknas exponenter först", sålunda för att mot modell

.

(Detta gäller oberoende från angående man använder detta vanliga beteckningssättet tillsammans med "små upphöjda" exponenter, alternativt inom stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^.

inom datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q&#;=&#;b^(p^q)&#;≠&#;(b^p)^q.)

Funktioner tillsammans potenser

[redigera | redigera wikitext]

Till viktiga funktionstyper såsom besitter sitt ursprung ur potenser räknas

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]