Vad är a i en exponentialfunktion

Vi besitter tidigare gått igenom hur man är kapabel förklara linjära funktioner tillsammans hjälp från räta linjens ekvation. inom detta denna plats avsnittet bör oss titta vid funktioner liksom ej existerar raka, utan följer någon ytterligare typ från samband.

Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion besitter nästa form

$$f(x)=C \cdot a^x$$

Där \(C\) samt \(a\) existerar konstanter samt \(x\) den oberoende variabeln.

\(C\) existerar funktionens startvärde, samt \(a\) existerar förändringsfaktor. då konstanten \(a\) existerar större än \(1\) därför existerar funktionen exponentiellt något som ökar i storlek eller antal samt då \(a\) existerar mindre än \(1\) således existerar funktionen exponentiellt avtagande. Man brukar välja beteckningen \(f(x)\) på grund av ett allmän funktion, dock beroende vid kontext använder man lämpliga tecken.

mot modell brukar sträcka vilket förändring från period tecknas \(s(t)\).

Eftersom \(a\) existerar förändringsfaktorn, kommer detta ofta äga enstaka procentuell innebörd.

angående \(a\) exempelvis existerar \(1,02\), betyder detta för att detta sker enstaka ökning tillsammans \(2\) andel, eftersom \(1=100\%\) då man mångfaldigar tal.

Exempel:

Vi äger \(50\,000\) kr vid banken tillsammans med enstaka årlig ränta vid \(2\%\). Beroende vid angående oss väljer för att beräkna räntan vid detta ursprungliga värdet alternativt föregående års värde således kommer oss äga olika många valuta vid banken inom slutändan.

inom detta modell bör oss vandra igenom båda fallen samt jämföra resultatet.

Om oss kalkylerar räntan utifrån detta ursprungliga kapitalet till varenda tid sålunda får oss enstaka linjär ökning.

Denna lektion fokuserar på potens- och exponentialfunktioner, två centrala koncept inom matematik

Värdetabellen nedan visar hur kapitalet växer beneath tre år.

År	Kapital utan ränta (kr)	Ränta (kr)	Kapital tillsammans ränta (kr)
1	50 000	50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000	51 000
2	51 000	50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000	52 000
3	52 000	50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000	53 000

Räntan (kapitalets ökning) mätt inom kronor existerar konstant varenda kalenderår.

Saldot vid vårt konto efter \(x\) antal kalenderår förmå därmed beskrivas enligt

$$f(x)=1\,000x+50\,000$$

Här existerar \(y\) existerar kapitalets storlek samt \(x\) antal tid efter för att oss satte in pengarna vid kontot. Detta samband motsvarar räta linjens ekvation tillsammans med \(k=1000\) samt \(m=50\,000\).

Om oss istället får ett ränta vid säga \(2\%\) per kalenderår, vid sålunda sätt för att räntan räknas vid detta innestående kapitalbeloppet nära årets slut, kommer pengarna för att öka i enlighet med nästa tabell:

År	Kapital utan ränta (kr)	Ränta (kr)	Kapital tillsammans ränta (kr)
1	50 000	50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000	51 000
2	51 000	51 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 020	52 020
3	52 020	52 020 \( \cdot \) 0,02 = 1 040,40	53 060,40

År \(3\) får oss alltså kapitalet:

$$50\,000\cdot1,02\cdot1,02\cdot1,02=50\,000\cdot{1,02}^3=53\,060,40$$

där exponenten \(3\) står på grund av tiden \(3\) kalenderår liksom oss besitter haft kapitalet vid kontot.

Denna tillväxt från kapitalet kallas inom ekonomiskt tungomål på grund av för att “kapitalet växer tillsammans ränta vid ränta”.

Eftersom kapitalet förändras (ökar) tillsammans med räntan varenda tid kunna saldot ej beräknas tillsammans med hjälp från ett linjär funktion.

Det innebär som sagt att förändringen, tillskillnad från linjära funktioner, inte är konstant

Förändringen följer istället formeln:

$$\text{pengar efter}\;x\,\text{år}=\text{startkapital}\cdot\text{förändringsfaktorn}^{x\,\text{antal år}}$$

\(x\)-variabeln existerar idag exponenten, dvs funktionen existerar exponentiell. Saldot vid vårt konto efter \(x\) antal tid beräknas enligt

$$f(x)=50\,000 \cdot 1,02^x$$

Nu bör oss visualisera hur pengarna växer på grund av både detta linjära samt exponentiella fallet.

Nedan framträda ett graf, var den blå räta sträcka representerar den linjära funktionen samt den gröna linje representerar exponentialfunktionen.

Vi är kapabel titta för att oss får en avsevärt större tillgångar ifall oss baserar räntan vid saldot årsvis än ifall oss baserar räntan vid vårt ursprungliga belopp.

Med hjälp från formeln till exponentialfunktioner betyder detta för att oss ej måste beräkna värdet på grund av varenda kommande kalenderår, utan är kapabel istället nyttja oss från för att exponenten står till tiden.

Exempel: ifall enstaka ort äger \(5\,000\) bosatta duvor, är kapabel oss fråga oss hur flera duvor detta kommer artikel efter \(4\) tid angående populationen årligen ökar tillsammans \(20\%\).

$$5\,000\cdot1,2^4=5000\cdot2,0736=10368$$

Alltså förmå oss förvänta oss för att detta kommer existera \(10\,368\) duvor efter \(4\) tid.

inom tabellen nedan förmå oss titta hur man kalkylerar den årliga populationen vid liknande sätt.

År	Antalet duvor
1	\(5\,000\cdot1,2^1=6\,000\)
2	\(5\,000\cdot1,2^2=7\,200\)
3	\(5\,000\cdot1,2^3=8\,600\)
4	\(5\,000\cdot1,2^4=10\,368\)

Potensfunktioner

En potensfunktion äger nästa form:

$$f(x)=C \cdot x^n$$

Där \(C\) samt \(n\) existerar konstanter samt \(x\) den oberoende variabeln.

\(C\) existerar potensfunktionens startvärde, samt exponenten \(n\) existerar enstaka konstant inom funktionen.

\(n\) förmå existera vilket reellt anförande vilket helst. ifall \(n\) existerar \(0\) alternativt \(1\) äger detta ett speciell innebörd. då \(n=0\) blir funktionen enstaka konstant funktion \(f(x)=C\) eftersom \(x^0=1\). samt till \(n=1\) blir funktionen linjär, då \(x^1=x\) vilket ger att

$$f(x)=C\cdot x$$

Med andra mening existerar raka funktioner specialfall från potensfunktioner.

då funktionen ej existerar linjär sålunda äger dess graf formen från enstaka böjd kurva - hur sådana kurvor ser ut kunna variera kraftigt.

Exempel: en fritt fall är kapabel beskrivas från funktionen

$$s(t)=4,9 \cdot t^2$$

Där \(s\) existerar sträckan inom meter samt \(t\) existerar tiden inom sekunder.

Detta existerar en modell vid ett potensfunktion. inom detta fall återfinns den oberoende variabeln inom potensens bas, snarare än inom exponenten (som plats fallet på grund av exponentialfunktioner).

Nedan ser oss grafen mot funktionen.

inom detta fall äger oss ett potensfunktion tillsammans konstanterna \(C=4,9\) samt \(n=2\).

Notera för att angående något från värdet vid variablerna \(t\) alternativt \(s\) anges sålunda får oss enstaka potensekvation.